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　　编辑推荐

　　英国“第一本数学分析书”，奠定了20世纪初数学分析课程基础，

　　以通俗易懂的数学语言全面梳理经典数学相关概念，

　　对诸多数学论证给出了逻辑严密且详细的推导过程，知其然更知其所以然。

　　每章皆收录大量相关杂例与数学习题集，供读者进一步了解与巩固所学。

　　概念清晰，内容详实，从最基础的数学概念出发，逐步引导读者进入更复杂的数学世界，让非数学专业的学习者也能感受到数学之美。

　　内容简介

　　《纯数学教程》详细梳理了经典数学相关概念，其知识框架清晰而有条理，囊括了数论、代数、几何和拓扑学等多个领域。全书共分十章，每一章内容循序渐进、层层深入，从基础的核心概念讲起，提供严谨的证明过程，以及丰富的例子和习题。

　　第一章至第三章介绍了实数、复数等概念，其中，第二章着重通过图片展示的方式，直观地分析与讲解抽象的函数。第四章和第五章引入了极限、连续、振荡等概念。第六章至第八章详细介绍了微积分的概念和相关定理证明，如中值定理、达布定理等，此外，还论述了收敛的判别法。第九章和第十章，从多重角度出发，给出了指数函数、对数函数和三角函数的定义及其应用。

　　作者简介

　　戈弗雷·哈罗德·哈代(1877—1947年)，卒于剑桥。英国数学家，数学分析学派领袖。13岁进入以培养数学家著称的温切斯特学院，1896年转入剑桥三一学院，1900年获史密斯奖，以后在英国牛津大学、剑桥大学任教授。他培养和指导了包括印度数学奇才拉马努金和我国数学家华罗庚在内的众多数学大家，他所著《纯数学教程》《数论导引》《不等式》等在国际数学界具有持久而重大的影响力。

　　目录

　　译者序 / 1

　　前 言 / 5

　　第一章 实变量 / 1

　　(1)有理数 1

　　(2)通过线上的点来代表有理数 2

　　(3)无理数 3

　　(4)无理数(续) 6

　　(5)无理数(再续) 7

　　(6)无理数(三续) 9

　　(7)无理数(四续) 10

　　(8)实数 11

　　(9)实数之间的大小比较 12

　　(10)实数的代数运算 14

　　(11)实数的代数运算(续) 15

　　(12)的研究 16

　　(13)二次方根 17

　　(14)关于二次方根的一些定理 18

　　(15)连续统 21

　　(16)连续实变量 23

　　(17)实数的分割 23

　　(18)极限点 25

　　(19)魏尔施特拉斯定理 26

　　   例题集 27

　　第二章 实变量函数 / 37

　　(20)函数的定义 37

　　(21)函数的图形表示法 40

　　(22)极坐标 41

　　(23)更多的函数以及图形表示的例子 42

　　(24)B. 有理函数 44

　　(25)有理函数(续) 46

　　(26)C. 显式代数函数 47

　　(27)D. 隐式代数函数 48

　　(28)超越函数 50

　　(29)F. 其他种类的超越函数 53

　　(30)包含着单一未知数的方程图像解法 56

　　(31)二元函数以及它们的图像表示法 57

　　(32)平面曲线 58

　　(33)空间中的轨迹 60

　　   例题集 63

　　第三章 复 数 / 69

　　(34)直线与平面上的位移 69

　　(35)位移的相同性、位移的数乘法 70

　　(36)位移的加法 71

　　(37)位移的乘法 74

　　(38)位移的乘法(续) 75

　　(39)复数 76

　　(40)复数(续) 78

　　(41)方程 i2=-1 79

　　(42)与 i 相乘的几何解释 79

　　(43)方程 z2 1 = 0，az2 2bz c = 0 80

　　(44)阿尔干(Argand)图 82

　　(45)棣莫弗定理 83

　　(46)几个关于复数的有理函数定理 85

　　(47)复数的根 97

　　(48)方程 zn = a 的解 98

　　(49)棣莫弗定理的一般形式 101

　　   例题集 101

　　第四章 正整数变量对应函数的极限 / 109

　　(50)正整数变量的函数 109

　　(51)函数插值 110

　　(52)有限集和无限集 111

　　(53)对于大数值 n 的函数性质 112

　　(54)对于大数值 n 的函数性质(续) 113

　　(55)“n 趋向于无穷” 的表述 114

　　(56)当 n 趋向于无穷时 n 的函数表现 115

　　(57)当 n 趋向于无穷时 n 的函数表现(续) 117

　　(58)极限的定义 117

　　(59)极限的定义(续) 119

　　(60)极限的定义(再续) 119

　　(61)关于定义的几个基础要点 120

　　(62)振荡函数 123

　　(63)关于极限的一些定理 127

　　(64)定理 1 的附属结果 128

　　(65)B. 两个增减趋势已知的函数乘积的增减趋势 129

　　(66)C. 两个增减趋势已知的函数的差或商的增减趋势 131

　　(67)定理 5 132

　　(68)定理 5(续) 133

　　(69)以 n 为变量且与 n 一起递增的函数 134

　　(70)对定理的说明 137

　　(71)魏尔施特拉斯定理的另一种证明 137

　　(72)当 n 趋向于时 xn 随着 n 变化的极限 138

　　(73) 的极限 142

　　(74)一些代数引理 143

　　(75) 的极限 145

　　(76)无穷级数 146

　　(77)关于无穷级数的一般定理 147

　　(78)无穷几何级数 149

　　(79)用极限方法来表示连续实变量 154

　　(80)有界集合的边界 157

　　(81)一个有边界函数的边界 158

　　(82)一个有边界函数的不确定的极限 158

　　(83)有边界函数的一般收敛性原则 161

　　(84)无边界函数 162

　　(85)复数函数的极限及复数项的级数 163

　　(86)定理的延伸 164

　　(87)当 n →∞时，zn 的极限(z 是复数) 166

　　(88)当 z 是复数时的几何级数 1 z z2 … 166

　　(89)符号 O，o，~ 168

　　   例题集 169

　　第五章 一个连续变量的函数极限、连续函数与不连续函数 / 179

　　(90)当 x 趋向于 ∞ 时的极限 179

　　(91)当 x 趋向于 -∞ 时的极限 181

　　(92)第四章第 63—69 课时的结论对应的定理 182

　　(93)当 x 趋向于 0 时的极限 182

　　(94)当 x 趋向于 a 时的极限 184

　　(95)递增或递减函数 185

　　(96)不定元的极限以及收敛原则 185

　　(97)不定元的极限以及收敛原则(续) 187

　　(98)符号 O，o，~：大、小的级别对比 192

　　(99)一个实变量的连续函数 193

　　(100)一个实变量的连续函数(续) 195

　　(101)连续函数的基本性质 199

　　(102)连续函数的其余性质 201

　　(103)连续函数的取值范围 202

　　(104)函数在区间内的振荡 204

　　(105)第 103 课时定理 2 的另一种证明 205

　　(106)直线上的区间集，海恩-博莱尔(Heine-Borel)定理 206

　　(107)连续函数的振幅 209

　　(108)多元的连续函数 211

　　(109)隐函数 212

　　(110)反函数 214

　　    例题集 216

　　第六章 导数与积分 / 221

　　(111)导数或微分系数 221

　　(112)一些一般性的注解 223

　　(113)一些一般性的注解(续) 226

　　(114)微分法的一些一般法则 227

　　(115)复函数的导数 230

　　(116)微分学的记号 230

　　(117)标准形式 232

　　(118)B. 有理函数 235

　　(119)C. 代数函数 236

　　(120)D. 超越函数 238

　　(121)高阶导数 241

　　(122)关于导函数的一些一般性定理 245

　　(123)最大值与最小值 247

　　(124)最大值与最小值(续) 249

　　(125)最大值与最小值(再续) 249

　　(126)中值定理 257

　　(127)中值定理(续) 259

　　(128)柯西中值定理 259

　　(129)达(Darboux)定理 260

　　(130)积分 261

　　(131)实际的积分问题 262

　　(132)多项式 264

　　(133)有理函数 265

　　(134)有理函数的实际积分 268

　　(135)代数函数 269

　　(136)换元积分法和有理化积分法 269

　　(137)由圆锥曲线相连的积分 270

　　(138)积分 271

　　(139)积分 272

　　(140)积分 273

　　(141)分部积分法 273

　　(142)一般的积分，其中 y2 = ax2 2bx c 276

　　(143)超越函数 280

　　(144)以 x 的倍数的正弦与余弦为变量的多项式 280

　　(145)积分，及相关的积分 281

　　(146)cosx 和 sinx 的有理函数 281

　　(147)包含 arcsinx，arctan x 和 log x 的积分 283

　　(148)平面曲线的面积 284

　　(149)平面曲线的长度 285

　　    例题集 290

　　第七章 微分和积分的其他定理 / 303

　　(150)更高阶的中值定理 303

　　(151)泰勒定理的另一种形式 308

　　(152)泰勒级数 310

　　(153)泰勒定理的应用 A. 求最值 312

　　(154)B. 某些极限的计算 312

　　(155)C. 平面曲线的相切 315

　　(156)多变量函数的导数 320

　　(157)双变量函数微分法 322

　　(158)双变量函数微分法(续) 325

　　(159)双变量函数的中值定理 326

　　(160)微分 328

　　(161)定积分和面积计算 332

　　(162)定积分 335

　　(163)圆的扇形面积，三角函数 336

　　(164)从定积分作为和的极限来计算定积分 340

　　(165)定积分的一般性质 341

　　(166)分部积分法和换元积分法 345

　　(167)利用分部积分法证明泰勒定理 348

　　(168)余项的柯西形式在二项式中的应用 349

　　(169)定积分的近似公式，辛普森公式 350

　　(170)实变量复数函数的积分 352

　　    例题集 353

　　第八章 无穷级数与无穷积分的收敛 / 365

　　(171)前言 365

　　(172)正项级数 365

　　(173)正项级数(续) 366

　　(174)这些判别的第一批应用 366

　　(175)比值判别法 367

　　(176)德里赫特判别法 371

　　(177)正项级数的乘法 371

　　(178)对于收敛与发散的额外判别法 373

　　(179)阿贝尔(或普林斯姆)定理 374

　　(180)麦克劳林(或柯西)积分判别法 376

　　(181)级数 377

　　(182)柯西并项判别法 379

　　(183)进一步的比值判别法 380

　　(184)无穷积分 381

　　(185)取值为正的情形 383

　　(186)替换积分法和分部积分法对无限积分的应用 386

　　(187)其他类型的无穷积分 389

　　(188)其他类型的无穷积分(续) 391

　　(189)其他类型的无穷积分(再续) 395

　　(190)正负项的级数 397

　　(191)绝对收敛级数 398

　　(192)德里赫特(Dirichlet)定理延伸到绝对收敛级数 400

　　(193)条件性收敛级数 400

　　(194)条件性收敛级数的收敛判别法 401

　　(195)交错级数 402

　　(196)阿贝尔收敛判别法和德里赫特收敛判别法 405

　　(197)复数项的级数 408

　　(198)幂级数 409

　　(199)幂级数(续) 410

　　(200)幂级数的收敛域、收敛圈 410

　　(201)幂级数的唯一性 413

　　(202)级数的乘法 413

　　(203)绝对收敛无限积分和条件收敛无限积分 415

　　    例题集 417

　　第九章 实变量的对数、指数及三角函数 / 427

　　(204)引言 427

　　(205)log x 的定义 428

　　(206)log x 满足的函数等式 429

　　(207)log x 随着 x 趋向于无穷时的情况 431

　　(208)当 x →∞ 时 x -α log x → 0的证明 431

　　(209)当 x → 0 时 log x 的性状 432

　　(210)无穷的尺度， 对数的尺度 432

　　(211)数字 e 435

　　(212)指数函数 436

　　(213)指数函数的一般性质 437

　　(214)一般幂函数 ax 439

　　(215)ex 作为极限的表示法 440

　　(216)log x 作为极限的表示法 441

　　(217)常用的对数 442

　　(218)级数和积分收敛的对数判别法 449

　　(219)与指数函数、对数函数有关的级数，用泰勒定理展开ex 454

　　(220)对数级数 457

　　(221)反正切函数级数 459

　　(222)二项级数 462

　　(223)建立指数函数与对数函数理论的另一种方法 464

　　(224)三角函数的分析理论 466

　　(225)三角函数的解析理论(续) 469

　　(226)三角函数的解析理论(再续) 471

　　    例题集 472

　　第十章 对数函数、指数函数和三角函数的一般理论 / 483

　　(227)单复变量的函数 483

　　(228)单复变量的函数(续) 484

　　(229)实数和复数曲线积分 484

　　(230)的定义 485

　　(231)Log ζ 的值 486

　　(232)指数函数 491

　　(233)expζ 的值 492

　　(234)exp ζ 满足的函数方程 492

　　(235)一般的幂 aζ 493

　　(236)aζ 的一般值 494

　　(237)正弦和余弦的指数值 498

　　(238)对于所有的 ζ ，sin ζ 和 cos ζ 的定义 498

　　(239)推广的双曲线函数 499

　　(240)与，等有关的公式 500

　　(241)对数函数与反三角函数之间的联系 503

　　(242) exp z 的幂级数 505

　　(243)cos z 和 sin z 的幂级数 507

　　(244)对数级数 509

　　(245)对数级数(续) 510

　　(246)对数级数的一些应用，指数极限 513

　　(247)二项式定理的一般形式 514

　　    例题集 517

　　附录 1 Hölder 不等式和 Minkowski 不等式 / 527

　　附录 2 每一个方程都有一个根的证明 / 533

　　附录 3 双极限问题的注记 / 540

　　附录 4 分析和几何中的无穷 / 543　　

    前言/序言

　　译者序

　　从1908年初版至今，《纯数学教程》一共经历了11 次重印或再版，不断被译成不同的语言文字， 其在数学界的受欢迎程度不言而喻。在无数次不同语言之间的翻译过程中，看似是译者对本书言语的打磨， 实则是数学思想与逻辑思维的碰撞;不断修订的过程， 也是使本书不断吸收和纳入新时代的数学思想与分析方法的过程。这本数学著作之所以经典，除了本身的学术价值，作者哈代(Hardy)的人格魅力也为其增光添彩。

　　哈代先生既是著名的数学家，又是优秀的教育家。他在英国牛津大学、剑桥大学任教期间的数学成果斐然，在数论、不等式、级数、极限以及微积分计算等领域中做出了巨大的贡献，同时还挖掘了拉马努金、华罗庚先生等优秀的数学家。《纯数学教程》的再译、再版、再印并不仅是出千对哈代先生的尊重与崇敬，更是因为这是一本畅销书，具有普及思想的价值。能够由我承担本书的翻译工作，为广大读者传播哈代先生的数学知识与逻辑思维， 与读者一同领略字里行间闪烁的汗漫灵光，何其荣幸!

　　数学，这门学科从远古的计数开始，不仅是工具，更是思想。译者在中国和美国都曾学习过“高等数学”，学习内容差不多，但老师的教学方法却略有不同。《纯数学教程》与国内高等院校数学教科书的区别在于一它更为详尽地描述了公式、定理的推导过程，对于边界或限制条件的来源、假设方式都进行了详细的考证。非常有意思的是，这本教科书中的很多问题并没有给出最终答案，而是留给读者自行思考，似乎读者得出的答案才是正确答案。这其实反映了东西方教育的不同理念一结果导向论vs思维导向论。

　　译者在美国参加博士生入学考试时，我们所有考生都有着相似的心得体会：看着出题风格尤其是使用的动词，就能大致猜出它出自哪国老师的手笔一如果题目给定限制条件，通过代入公式得到最终结果的，十有八九是亚洲老师的杰作(题目中最常见的动词为obtain)。这是因为在东方(如中、日、韩等国)的数学教育中，侧重千解决问题(problem-solving)，也非常崇尚 “打破砂锅豐到底 ” 的追踪精神。而与之相对，欧美数学系教授的出题方式往往偏向论述，无限制条件(题目中最常见的动词为describe)。这样一来，试题往往对千最后数值答案的分值设定不高。东方崇尚的结果导向论与西方追求的思维导向论，这两种不同的教育方式，塑造出来的学生思维风格也不尽相同。在此我想要强调的是，这两种教育方式并无高下之分，也无对错之别，只是对学生的大脑皮层刺激点以及思维路径的不同。我们既不可妄自菲薄，也不可骄傲自大。回头看来，《纯数学教程》这本书既是对数学思维的推广，又是对数学能力的培养，既具有思维导向性，也具有结果导向性，读之将受益无穷。

　　《纯数学教程》作为英国 “第一本数学分析书”，对千数学分析的逻辑思路进行了统一，直接奠定了数学分析课程的基础。本书将直观与抽象结合起来进行数学分析，全面梳理了经典数学的相关概念，系统阐述了微积分的产生与应用，还襄括了剑桥大学“数学”课程的习题集以及解题技巧，适合学习数学以及数学爱好者阅读，下面简要介绍一下本书的内容结构：

　　全书一共分为十章，内容层层递进，逻辑清晰。第一章与第三章进行了数论扩充的讨论，从有理数到实数，再到复数，介绍了其分类关系、大小比较及相关定理，尤其是第一章中戴德金分割定理的分析尤为精彩。第二章介绍了函数的概念，着重以图像展示的方法来分析函数，读者也应吸收理解图像分析这一思想。第四章和第五章开始引入极限、级数、连续、振荡等相对晦涩难懂的概念， 并且对于边界条件进行了分类讨论。从第六章到第八章开始详细介绍了微积分的概念、相关定理证明、特殊函数的积分讨论以及收敛的判别法。值得注意的是，此三章通过细致入微的讨论，为19世纪以来的欧洲数学界微积分辩论找到了答案，推荐读者多次阅读并熟练使用微积分工具。第九章与第十章针对常见且重要的对数函数、指数函数以及三角函数进行了多重角度分析。

　　本书的翻译是译者在不断翻阅相关数学资料的基础上反复推敲的过程，对于很多数学概念的分析、定理的推导过程及限制条件都进行了仔细的琢磨，译者也自行对部分习题进行了验算。在此，我向曾经请教过的同事表示衷心的感谢，也向在翻译过程中给予帮助和指导的编辑们表示感谢。作为一部20世纪的著作，原文的一些表达都已过时，因此译者尽量使用了最新的数学概念与表达方式进行翻译，便千读者理解。但由千水平有限，最终译文难免会有欠妥之处，恳请各位读者批评指正。