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　　内容简介

　　本书为《代数学教程》第三卷，主要讨论我们熟悉的那些数系：自然数集、整数环、有理数域、实数域、复数域，以及超复数等.编者从数学结构的角度出发，以新颖的论述方式讲述了每一种数系的构造(运算)及其性质，建立起了严格、系统的科学数系的逻辑过程.本书适合高等院校理工科师生及数学爱好者阅读.

　　目录

　　第一章 自然数理论//1

　　§1 自然数 //1

　　1.1 数和数数 //1

　　1.2 自然数及其运算 //3§2 自然数的序 //8

　　2.1 最小数原理与数学归纳法 //8

　　2.2 归纳定义·若干个数的和与积 //11

　　§3 自然数的整除性理论 //17

　　3.1 自然数的整除性 //17

　　3.2 辗转相除法 //19

　　3.3 素数 //20

　　§4 自然数的公理 //24

　　4.1 自然数的公理系统 //24

　　4.2 自然数的运算 //25

　　4.3 关于自然数公理系统的评论 //32

　　§5 记数制度 //37

　　5.1 制度数 //37

　　5.2 研究在制度数上运算的方法·数的比较 //40

　　5.3 加法·减法 //43

　　5.4 乘法·除法 //47

　　5.5 从一个记数制度换到另一个 //51

　　第二章 整数环//56

　　§1 整数的定义 //56

　　1.1 算术和代数中的扩张原则·等价关系的基本定理 //56

　　1.2 整数环的定义 //59

　　1.3 整数的性质 //67§2 整数的整除性//71

　　2.1 整数的整除性理论 //71

　　2.2 不可分解的整数·整数的唯一分解定理 //75

　　2.3 半交换环 //77

　　第三章 有理数域//81

　　§1 有理数域的定义 //81

　　1.1 前言·有理数的定义 //81

　　1.2 有理数域的建立 //83

　　§2 有理数的性质 //88

　　2.1 有理数的性质 //88

　　2.2 n进有理数 //94

　　2.3 商域 //97

　　第四章 实数域//99

　　§1 实数域的第一种定义 //99

　　1.1 前言·连续性的第一种表述 //99

　　1.2 有理数域的不连续性·实数域的定义 //104

　　§2 实数域的戴德金构造 //110

　　2.1 分割集的序 //110

　　2.2 分割的加法运算 //113

　　2.3 分割加法的逆·减法运算 //115

　　2.4 分割的乘法运算 //118

　　2.5 分割的除法运算 //121

　　2.6 实数集R的密集性与连续性 //126

　　§3 实数域的第二种定义 //130

　　3.1 数列的极限·有理数域的不完备性 //130

　　3.2 连续性的第二种表述 //141

　　§4 实数域构造的康托方法 //145

　　§5 实数域的公理化定义 //168

　　§6 用小数书写实数 //180

　　§7 连分数理论 //193

　　第五章 复数域//222

　　§1 复数 //222

　　§2 复数的性质 //229

　　§3 超复数 //243

　　§4 复数的历史发展 //258

　　第六章 代数数域//264

　　§1 代数数与超越数 //264

　　§2 高斯整数的整除性理论 //279

　　§3 代数整数的整除性理论 //288

　　§4 理想数的唯一分解定理 //303

　　参考文献 //312