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　　编辑推荐

　　适读人群 ：对物理学、数学发展概

　　当读者读完这本书时，会对现代数学家如何看待数字、函数和公式有一个更清晰的理解，并懂得对“新数学”背后思想的牢固掌握将如何影响对数学本质的真正理解。

　　内容简介

　　在这本引入入胜的科普经典中，著名英国数学家斯图尔特用清晰流畅、幽默风趣的语言阐明了群、集合、子集、拓扑、布尔代数等“新数学”的基本概念，他认为理解这些概念是把握数学真正本质的好途径。此外，作者还对函数、对称、公理学、计数、拓扑学、超空间、线性代数、实分析、概率论、计算机、现代数学的应用等主题作了发人深省的讨论。读者无需任何高等数学背景，只需对代数、几何和三角学略知一二，便可读懂此书的大部分内容。读罢此书，你会更清楚地理解现代数学家对图形、函数和公式的看法，以及“新数学”的基本思想如何有助于领会数学的本质。

　　作者简介

　　伊恩•斯图尔特(lan Stewart.1945-)，英国数学家、科普和科幻作家，英国华威大学数学荣誉教授，因其大量优秀的数学科普作品而享誉世界。著书 60 多种，包括《给年青数学人的信》《自然之数》《对称的历史》《如何切蛋糕》《上帝掷骰子吗》，等等。

　　译者简介：

　　张卜天，中国科学技术大学物理学学士，北京大学科技哲学博士，清华大学科学史系教授，研究方向为西方中世纪和近代科学思想史。精通科学史与哲学史翻译，译有60余部著作。其译文优美流畅，广受读者好评。

　　内页插图

　　精彩书评

　　★无论读者的数学背景如何，他在阅读此书时都会学到很多数学知识，甚至想了解更多东西。

　　——美国数学协会（Mathematical Association of Amcrica）

　　★这是一本优秀的科普读物，介绍了各种精选的数学方法、成果和应用。它图文并茂，生动活泼，只要对数学感兴趣并且具有基本的数学知识，即可轻松理解。书末尾还对每个章节作了进一步解释，补充了更多文献和参考资料。

　　一一《数学文摘》（Zentralblatt MATH）

　　目录

　　第一章 数学概论

　　抽象性和一般性

　　直觉和形式主义

　　图形

　　为什么？

　　第二章 没有运动的运动

　　翻转欧几里得

　　反对运动的论证

　　对运动的修正

　　刚性

　　平移、旋转、反射

　　回到那个定理

　　第三章 高等算术的捷径

　　小规模的算术

　　同余

　　除法

　　两条著名定理

　　第四章 集合的语言

　　空集

　　子集

　　并集和交集

　　补集

　　几何学作为集合论

　　第五章 什么是函数？

　　关于公式

　　更一般的函数

　　函数的性质

　　总结

　　第六章 抽象代数初步

　　环和域

　　应用于几何作图

　　再谈同余

　　一种引入复数的方法

　　第七章 对称性：群的概念

　　群的概念

　　子群

　　同构

　　图案分类

　　第八章 公理学

　　欧几里得的公理

　　一致性

　　模型

　　为欧几里得辩护

　　其他几何学

　　第九章 计数：有限和无限

　　无限算术

　　大大小小的无限

　　超越数

　　第十章 拓扑学

　　拓扑等价性

　　一些不寻常的空间

　　毛球定理

　　第十一章 间接思考的力量

　　网络

　　欧拉公式

　　非平面网络

　　另一项应用

　　第十二章 拓扑不变量

　　欧拉公式的推广

　　构造曲面

　　标准曲面的欧拉示性数

　　对曲面分类

　　对断言A的证明

　　对断言B的证明

　　曲面上的地图着色

　　第十三章 代数拓扑

　　孔、路径和圈

　　同伦

　　圆的基本群

　　射影平面

　　第十四章 进入多维空间

　　多胞形

　　四维图

　　堆放截面

　　24维空间中的宇航员

　　欧拉公式的进一步推广

　　更多代数拓扑

　　第十五章 线性代数

　　一个问题

　　一种几何观点

　　模式线索

　　矩阵

　　一种抽象表述

　　第十六章 实分析

　　无限求和

　　什么是极限？

　　完备性公理

　　连续性

　　证明分析中的定理

　　第十七章 概率论

　　组合概率

　　进入集合论

　　独立性

　　悖谬的骰子

　　二项偏差

　　随机游走

　　第十八章 计算机及其用途

　　二进制记数法

　　一台滚珠计算机

　　计算机的结构

　　编写程序

　　计算机的用途

　　第十九章 现代数学的应用

　　如何将利润最大化

　　八重道

　　突变理论

　　第二十章 基础

　　害群之马（半黑的绵羊）

　　两种补救措施

　　希尔伯特纲领

　　哥德尔数

　　对哥德尔定理的证明

　　不可判定性

　　尾声

　　附录 它仍在移动……

　　四色定理

　　多项式和质数

　　混沌

　　真实的数学

　　符号表

　　索引

　　作者简介

　　译后记

　　精彩书摘

　　你无法通过告诉一个孩子什么是数来教他计数，而会向他展示出现数的事例：两条狗、两个苹果、两本书、……。他逐渐注意到，“二性”这种性质是所有这些例子所共有的。这样他便形成了“数”的概念。

　　数是集合的性质。有两个元素的是苹果或狗的集合，而不是任何个体的苹果或狗。我们计数的不是一个对象，而是对象的集合。数学家在思考究竟什么是数时，发现了这个事实。他们还意识到，说两个数何时相同要比说它们是什么更容易。

　　如果一个孩子有两只杯子，每只杯子都位于各自的杯碟上，那么某一时刻他会意识到，他必定也有两只杯碟。玩抢座位游戏时，如果有7位玩家和6个座位，就会有人没有座位。如果一位剧院经理看到剧院里的每个座位正好坐着一个人，他就知道人数和座位数完全相同。他无需知道有多少个座位就能知道这一点。

　　这意味着“相同的数”的概念并不依赖于“数”的概念。同样，你可以在不知道长度的情况下把两根绳子并排放置，以判断它们是否长度相同。或者，你可以用一个梁式天平来判断两个物体是否有相同的重量。在所有这三种情况下，说两个给定对象何时具有相同的性质，要比一般地说这种性质是什么更容易。你只需要知道如何就这种（尚未定义的）性质对对象进行比较。

　　就长度或重量而言，不难确定比较的方法。那么“数”呢？

　　让我们回到剧院座位上的人的例子。为了确保数完全相同，我们需要知道：

　　（1）每个人坐一个座位。

　　（2）每个座位坐一个人。

　　如果设S是座位的集合，P是人的集合，那么对于每个人p∈P，可以定义f（p）∈S为他所坐的座椅。于是，f：P→S是一个双射（一一对应）。首先，f符合我们对函数的定义：其定义域是P，目标域是S。由（1）可知，为p指定f（P）的规则是明确的。f是满射，因为由（2）可知，每个座位坐一个人；也是单射，因为同样由（2）可知，每个座位只坐一个人。

　　通常，当且仅当两个集合之间存在一个双射时，它们才有相同数目的元素。

　　……

　　前言/序言

　　《现代数学的概念》一书始于1971年在华威大学开设的一门校外课程，今天我们会称之为“继续教育”。考文垂的几十位市民每周都要聚在一起两个小时，学习当时英国所谓的“现代数学”和美国所谓的“新数学”，他们当中既有学生，又有退休的汽车工程师，不一而足。这种特殊风格的数学的新颖之处并不在于它的内容——其大部分内容至少已有一个世纪的历史——而在于它是在学校里讲授的。尼古拉·布尔巴基（Nicolas Bourbaki）——一个以法国数学家为主的匿名团体——在研究层面所推崇的抽象且一般的数学阐释风格正在被引入课堂。

　　这项引人注目的教育实验仍然存在争议。许多人认为它是一场彻头彻尾的灾难。我个人认为，其支持者混淆了数学的本质这个逻辑问题和如何最好地讲授数学这个心理学问题。这场运动既有很大的优点（例如，它认真尝试带领学校的数学走出黑暗时代），也有一些严重的缺陷，比如包含了一些与普通学生感兴趣的东西毫无关系的抽象概念。赞成引入新教学大纲的教育家与知道其中的内容有何实际益处的数学家之间几乎没有交流，这导致了一些奇怪的决定。

　　老师和家长们肯定觉得这些变化非常令人困惑，由此便有了这门课。其目的并不是讲授新的学校数学，也不是讨论引入它所涉及的问题，而是解释为什么背后的抽象观点会在数学研究者当中流行开来，考察它如何开启了全新的数学思想领域。抽象数学如果讲得好，可能深刻、强大、开拓眼界，如果讲得不好，则可能肤浅、晦涩、单调乏味。这门课旨在扬长避短。