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　　内容简介

　　《非局部反应扩散方程》以反应扩散方程的基本理论为基础，以生物、物理和化学等自然学科为背景，将几类主要的微分方程、积分方程作为研究对象，介绍非局部反应扩散方程的基本理论、基本方法以及一些常见的应用。内容包括非局部反应扩散方程的行波解、对应柯西问题解的适定性以及斑图动力学理论；主要用到的方法有Leray-Schauder度理论、稳定性分析、单调迭代方法、常数变易法、上下解方法、多尺度分析、Turing分支理论、数值模拟等。《非局部反应扩散方程》所介绍的内容简明扼要，深入浅出，并尽量反映该内容的思想本质，从多个角度阐述了非局部反应扩散方程的核心内容。《非局部反应扩散方程》彩图可扫封底二维码查看。

　　目录

　　目录

　　前言

　　第1章 绪论 1

　　1.1 反应扩散方程的行波解 1

　　1.2 非局部反应扩散方程的行波解 3

　　1.2.1 单个方程的行波解 4

　　1.2.2 系统的行波解 7

　　1.3 非局部反应扩散方程的分支和斑图 10

　　第2章 具有Allee效应的非局部反应扩散方程的行波解 12

　　2.1 背景及发展现状 12

　　2.2 行波解的存在性 14

　　2.2.1 有界区域上解的存在性 14

　　2.2.2 *时行波解的存在性 22

　　2.2.3 *时行波解的存在性 24

　　2.3 连接0到u+的快波 27

　　2.4 数值模拟 31

　　第3章 带有聚集项的非局部反应扩散方程的行波解 37

　　3.1 背景及发展现状 37

　　3.2 行波解的存在性 40

　　3.3 连接0到1的快波 45

　　3.4 单调行波解的存在性 47

　　3.5 数值模拟 55

　　第4章 具有非局部效应的反应-扩散-突变模型的初值问题 60

　　4.1 背景及发展现状 60

　　4.2 柯西问题解的存在性 61

　　4.3 解的唯一性和全局稳定性 68

　　第5章 具有非局部效应的捕食-食饵模型的初值问题 76

　　5.1 背景及发展现状 76

　　5.2 比较原理 78

　　5.3 解的存在性和唯一性 83

　　5.4 解的其他性质 91

　　第6章 非局部Lotka-Volterra竞争系统的行波解 96

　　6.1 背景及发展现状 96

　　6.2 行波解的存在性 98

　　6.3 连接(0， 0)到(u.，v.)的快波 114

　　6.4 数值模拟 119

　　第7章 非局部Lotka-Volterra竞争系统的斑图生成 127

　　7.1 背景及发展现状 127

　　7.2 分支讨论 129

　　7.3 Turing斑图的多尺度分析 137

　　7.4 Turing斑图的稳定性分析和数值模拟 150

　　第8章 非局部Lotka-Volterra竞争系统的初值问题 157

　　8.1 背景及发展现状 157

　　8.2 比较原理 159

　　8.3 解的存在性和唯一性165

　　8.4 解的其他性质 171

　　第9章 非局部Belousov-Zhabotinski反应扩散系统的全局动力学 186

　　9.1 非局部Belousov-Zhabotinski反应扩散系统的适定性 186

　　9.1.1 背景及发展现状 186

　　9.1.2 比较原理 188

　　9.1.3 解的存在性和唯一性 193

　　9.1.4 数值模拟 200

　　9.2 非局部Belousov-Zhabotinski反应扩散系统的行波解 209

　　9.2.1 背景及发展现状 209

　　9.2.2 解的存在性 211

　　参考文献 223

　　精彩书摘

　　第1章绪论

　　1.1反应扩散方程的行波解

　　抛物型方程是非线性科学研究的重要内容之一.而反应扩散方程作为一类特殊的抛物方程，因为其行波解（一类特殊的形式不变解）可以描述物理、化学、生态学中的很多自然现象，如物理学中的晶体状态转化、化学反应（Belousov-Zhabotinski反应）中的物质浓度变化以及生态学中的种群增长、传染病传播等，受到越来越多数学家、生态学家、物理学家以及化学家的关注，参见Volpert等的专著和叶其孝等的专著.关于反应扩散方程行波解的研究*早可以追溯到1937年，Fisher!47]在研究生物基因的空间传播时考虑了如下Fisher方程

　　(1.1)

　　其中均为正参数.几乎同时Kolmogorov等研究了更一般的反应扩散方程

　　(1.2)

　　的行波解.由于方程(1.1)(或(1.2))的形如的行波解（这里c>0表示波的传播速度，(/>表示波形）形式简单，研究方便且应用广泛，很快便得到了快速发展（参见[11，46，129，175，176，177，191，198，209])，成为偏微分方程动力学研究的一个重要领域.而在行波解的研究中，存在性问题是*基本也是*首要的问题.关于经典反应扩散方程行波解存在性的研究方法很多，如相平面分析法[198k打靶法以及单调迭代方法等都是非常有效的方法，且结果相对也比较完善.

　　然而正如Weinberger等在文章[180]中所说，现实生活中事物并不是孤立存在的，而是相互之间有联系的，是一个有机的整体，从而考虑反应扩散系统的动力学行为（包括行波解）是非常必要的.Lotka-Volterra系统作为一个典型的生态模型，是由Lotka[102]和VoltemJ173](分别在研究化学反应和解释Hume港鱼群变化规律时）提出的，其模型的一般形式为

　　(1-3)

　　其中，近年来，研究者还发现Lotka-Volterra模型不仅可以描述生态系统中的很多现象，也可以用在其他社会科学和自然科学领域中.例如，它是物理学中著名的KdV方程的离散化；另外，像经济学、生物学、化学中的很多用常微分方程建立的模型都可以转化为Lotka-Volterra系统.关于系统（1.3)的研究，Sigmund及其研究小组做出了重要贡献并以此为主题在1998年ICM上做了一小时报告，另外，关于Lotka-Volterra系统的相关研究还可以参见及其参考文献.然而模型忽略了种群个体的迁徙和走动，忽略了所处环境中个体分布的不均匀等，也就是说，一个生态系统中的个体除了在时间方向的演化外，还需要考虑空间方向的变化.因此考虑时空综合效应的数学模型（例如偏微分方程组）将更加符合实际.特别地，将扩散引入模型（1.3)中可得如下模型

　　(1-4)

　　系统(1.4)总是有三个平衡点并且当时，系统（1.4)存在第四个平衡点

　　通过相平面分析法，对系统（1.3)或（I.4)的解有如下分类（参见）

　　(i)

　　(ii)

　　(iii)

　　(iv)

　　对于情形（iii)，存在一条不变的分界线使得如果初值在这条分界线之上，则当时，解收敛到平衡点，此时是不稳定平衡点，而平衡点，都是稳定的，因此这种情形也称为欢稳的 对于情形(i)和(ii)，系统（1.4)只有一个平衡点是稳定的，因此称这两种情形为单稳的.而情形(iv)则描述了两种群共存的现象.

　　近年来，关于系统（1.4)行波解的研究很多，对于双稳的情形，Kan-on在文章和中分别研究了稳态解的不稳定性和驻波的存在性.Gardner采用度理论的方法证明了行波解的存在性.关于行波解的存在性还可以参见Conley和Gardner的文章，他们采用的方法是Morse指标.此外，Kan-on还在文章中说明了双稳情形下的波速是唯一的.而关于双稳行波解稳定性的研究还可以参见.

　　关于单稳的情形，Hosono采用奇异摄动的方法给出了小扩散情形下行波解的存在性.Okubo等在文章[140]中证明了存在一个，当时，系统(1.4)存在连接两个半平衡点和的行波解，而当时不存在这样的行波解.紧接着，Kan-on卿证明了当且仅当时，系统（1.4)存在连接两个半平衡点的单调行波解，而关于*小波速的研究可以参见[64，77，79，107].

　　对于两种群共存的情形，也就是情形（iv)，Tang和Fife在文章[168]中证明了存在一个时系统（1.4)存在连接到的行波解，而当时不存在这样的行波解.随后，vanVuuren在文章[174]中进一步将上述结果推广到多种群耦合的反应扩散系统上并得到了类似的结论.

　　1.2非局部反应扩散方程的行波解

　　正如上一节所说，经典的反应扩散方程可以解释现实生活中的很多问题，然而在建立模型时忽略了时间滞后效应以及个体的空间移动能力.事实上，它们是普遍存在且非常重要的，例如，生物个体在空间的传播是需要时间的（有研究表明当一个人受到外界刺激时，信号在他的神经系统中的传播速度为100米/秒)，当前时刻的气候情况跟此前气候的状态是息息相关的，资源的再生、动（植）物的生长等都是需要一定时间的，处于潜伏期的病人不仅具有传染性还有空间移动能力.这些都是经典反应扩散方程反映不了的，因此，研究者就将时滞或非局部时滞引入数学模型中来.从理论上来看，考虑这些因素之后建立的模型将更加符合实际;而从建模的角度来看，引入时滞和非局部时滞是模型精确化的一个非常有效且重要的途径.

　　1.2.1单个方程的行波解

　　将时滞引入数学模型中便产生了时滞反应扩散方程.Schaafl*早研究了这一类方程的行波解，考虑了模型

　　(1.5)

　　其中T表示时滞，且/满足

　　并且通过应用*大值原理、上下解方法、相平面分析以及扰动理论，证明了方程(1.5)行波解的存在性和稳定性.进一步，Smith和Zhao借助于Liapunov稳定性等方法给出了方程（1.5)行波解的唯一性和全局渐近稳定性.需要指出的是，Schaaf的方法只能应用到非线性项是Hodgkin-Huxley类型或满足拟单调的时滞反应扩散方程，例如，模型

　　(1.6)

　　Wu和Zmi[191]进一步考虑了非线性项不满足拟单调条件时时滞反应扩散方程行波解的存在性，并将结果应用到模型

　　(1.7)

　　更多关于时滞反应扩散方程（1.6)或（1.7)以及其他类似方程的研究参见，[105，134，144，171，190，210，214]，另外，这一类方程抽象之后就是偏泛函微分方程，由于这类方程的研究比较困难，所以来自动力系统、微分方程（包括常微分方程、偏微分方程和泛函微分方程)、半群理论中的许多概念、方法和结果都被引入这一类方程的研究中，具体参见Wu的专著.

　　引入时滞之后，很大程度上使模型更加符合实际，更加精确，但是对于某些问题，时滞反应扩散方程还是描述不清楚.例如考虑生物种群时，种群个体在空间中是走动的，其位置随着时间的不同而不同.Britton首先考虑了这个问题，他在研究种群动力学时指出当前种群的变化受到一个作用在全空间历史上的卷积影响（也就是说，当前的种群个体是过去各个可能的位置来到当前位置的，时滞项不仅需要考虑时间的滞后，也必须考虑空间的加权平均作用，具体地，这个加权作用是通过一个加权函数，而这个加权函数是在假设个体是随机走动的条件下利用概率分析得到的，通常称这个加权函数为非局部时滞)，并建立了如下的单种群模型

　　(1.8)

　　其中为常数且

　　另外，在方程（1.8)中项表示个体局部聚在一起的优势;项表示因为资源消耗而导致整体种群密度过高的劣势.通过应用分支讨论的办法，他们指出方程(1.8)中的一致稳态可以分支出周期稳态、驻波和周期行波解.紧接着，Gourleyl58!考虑了a=0的情形，也就是考虑了方程

　　(1.9)

　　其中是一个常数且

　　另外，核函数似是一个有界函数且满足

　　用扰动的办法证得当非局部充分弱（非局部作用区间充分小）时，方程(1.9)存在连接平衡点0到1的行波解，而当非局部充分强时行波会失去单调性而出现“波峰Al-Omari和Gourley在文章中采用同样的方法考虑了一个具有年龄结构的非局部反应扩散方程并得到了类似的结论.Ashwin等在间中用几何奇异摄动的办法证得时滞充分小（或者非局部充分弱）时方程的行波解是持久的，并指出其性质与经典的Fisher-KPP方程类似，而当时滞充分大（或非局部充分强）时行波会失去单调性而出现振荡.Liang和Wu在中考虑了拟单调的情形，并采用单调迭代的技术证明了行波解的存在性.类似的结果还可以参见Wang等的文章(他们所采用的方法是单调迭代和非标准序关系).Genieys等在中发现非局部时滞可以导致方程的正平衡点失去稳定性并通过数值模拟得到了各种类型的行波解.Ai在⑴中考虑了一个一般方程（具有非局部时滞和一个小的参数)，首先证得参数充分小时波是持久的，进一步取特殊的核函数，通过几何奇异摄动的方法证明了行波解以及*小波速的存在性.以上考虑的都是单稳的情形，更多单稳情形下非局部时滞反应扩散方程的研究参见[60，121，126，142，148，181，186].关于双稳的情形，ApreuteseiH通过研究算子的正则性以及Predholm性质证明了非局部充分弱时行波解的存在性，更多结果可以参见[2，8，42，185，187].

　　近年来，关于非局部反应扩散方程行波解的研究有了很大进展.在不要求非局部充分弱的情形下，Berestycki等采用Leray-Schauder度理论证明了当时，方程（1.9)存在连接平衡点0到未知正稳态的行波解，而当时不存在这样的行波解.紧接着Nadin等在文章[137]中用数值模拟的办法说明了这个未知的正稳态恰好就是方程(1.9)的解.Fang和Zhao进一步在文章[55]中给出了方程（1.9)存在连接平衡点0到1的单调行波解的充分必要条件.*近，Alfaro和Coville在文章中严格地证明了当波速c充分大时，方程(1.9)存在连接0到1的行波解.Hamel和Ryzhik在文章中证明了方程(1.9)存在周期稳态且柯西（Cauchy)问题的解是一致有界的，另外，当初值具有紧支集时，传播速度也有上下界.Faye和Holzer在文章[51]中采用中心流形的办法证明了方程(1.9)存在如下形式的调制波.

　　其中是方程的稳态周期解.此外，这一模型也可以通过数值模拟的办法来研究，参见[3，8，12，58，60，67，71]，并且数值模拟比理论研究展现了更多解的行为.更多关于方程(1.9)或者其他类似非局部反应扩散方程行波解的研究参见[1，5，6，41，42，58，61，136，142，181，182，184，185]及其参考文献.

　　然而模型（1.9)反映不出群体聚集的优势，也反映不出Allee效应对种群的影响.Song等在文章丨160]中曾考虑过Allee效应对种群的影响，并提出了如下模型