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　　内容简介

　　本书以中考数学难题和国内外初中数学竞赛为背景，按照初中数学课程的进度分专题编写，在内容的安排上力求与课堂教学同步．在夯实基础的同时，通过新颖、有趣的数学问题，构建通往数学奥林匹克前沿的捷径；在有利于学生把初中数学教材的知识巩固深化的同时，恰到好处地为学生拓宽有关中考和竞赛数学的知识．本书以中考数学和初中数学奥林匹克中的热点、难点问题为载体，介绍了竞赛数学中令人耳目一新的巧妙解题方法与技巧，有助于激发学生创新与发现的灵感，开发智力，使他们提高参加中考数学和初中数学竞赛的水平．

　　目录

　　序

　　前言

　　培　优　篇　/ 1

　　第1 讲　三角形的概念 1

　　第2 讲　多边形的概念及内角和 8

　　第3 讲　全等三角形 15

　　第4 讲　轴对称 25

　　第5 讲　等腰三角形和等边三角形 33

　　第6 讲　直角三角形 43

　　第7 讲　整式的乘法与乘法公式 51

　　第8 讲　整式的除法 57

　　第9 讲　因式分解 64

　　第10 讲　因式分解的应用 69

　　第11 讲　非负数及其应用 75

　　第12 讲　分式的运算 82

　　第13 讲　分式方程 89

　　第14 讲　有理式的恒等变形 98

　　第15 讲　实数与二次根式 105

　　第16 讲　勾股定理 111

　　第17 讲　平行四边形 120

　　第18 讲　菱形、矩形和正方形 130

　　Ⅹ

　　第19 讲　梯形、三角形和梯形的中位线 139

　　第20 讲　待定系数法 148

　　第21 讲　一次函数及其应用 155

　　竞　赛　篇　/ 164

　　第22 讲　类比与猜想 164

　　第23 讲　从整体上看问题 174

　　第24 讲　不变量原理 181

　　第25 讲　抽屉原理 189

　　第26 讲　染色问题与染色方法 197

　　第27 讲　赋值法 205

　　第28 讲　三角形中的不等关系 214

　　第29 讲　组合几何初步 224

　　第30 讲　完全平方数 233

　　第31 讲　简单的不定方程 239

　　同步训练参考答案　/ 247

　　前言/序言

　　从1985 年我国第一次派队参加国际数学奥林匹克( 简称IMO) 以来, 中国代表队参加了32 次IMO, 其中19 次团队总分居第一位( 有11次参赛6 人都获得金牌) , 8 次团队总分居第二位, 各1 次团队总分居第三、第四、第六、第八位, 188 人次参赛, 共获得金牌147 块、银牌33块、铜牌6 块. 早在1994 年, 中国科学院数学物理学部的王梓坤院士就写道: “ ( 我国中学生在IMO 中) 连续获得团体冠军, 个人金牌数也名列前茅, 消息传来, 全国振奋. 我国数学, 现在有能人, 后继有强手, 国内外华人无不欢欣鼓舞.” 这对青少年学好数学无疑是莫大的鼓舞和鞭策,极大地激发了青少年学习数学的兴趣.为了给对数学有兴趣的初中数学资优生等提供一个提高解题能力和培养创新意识的平台, 我们以中考数学难题和国内外初中数学竞赛为背景,根据多年辅导初中数学资优生参加中考数学和初中数学竞赛所积累下来的经验、体会和素材, 编写了本书。本书分为培优篇和竞赛篇两部分.培优篇, 在内容安排上按照普通数学课程的进度, 力求与课堂教学同步, 采用从课内到课外逐步引申扩充、由浅入深、由易到难、循序渐进的方法编写; 在夯实基础的同时, 通过新颖、有趣的数学问题, 构建通往数学优等生的捷径; 在力所能及的范围内扩展知识面, 提高思维能力; 在巩固深化初中数学教材知识的同时, 拓宽有关中考数学和竞赛数学的知识.竞赛篇, 以初中数学奥林匹克中的热点、难点问题为载体, 介绍了竞赛数学中令人耳目一新的巧妙解题方法与技巧, 有助于激发学生创新与发现的灵感. 这些内容是数学奥林匹克中生动活泼、富于创造性的内容. 这类问题的特点是涉及的数学知识较少而包含的技巧较多, 理解和解决这类问题往往不需要很多专门的数学知识, 而发现解法却相当困难, 没有固定Ⅶ　的模式可套. 它要求学生自己探索、尝试, 通过观察、思考, 利用归纳、枚举、类比、排序、估计、构造、递降、递推、反证、奇偶分析等方法,发现规律, 找到解决问题的门径, 这恰是数学奥林匹克试题所应有的风格. 这些内容可帮助学生开发智力、提高水平去参加高层次的竞赛.本书以专题讲座的形式编写, 每讲的主要栏目有:数学名言欣赏: 以名人名言开宗明义, 开启每讲的数学学习之旅.知识方法扫描: 概括竞赛数学的相关知识、方法与技巧, 突出重点、难点和赛点.经典例题解析: 含“ 分析” “ 解” 和“ 评注” , 例题总数控制在8 题,由基础题(3 道中考难度的试题) 、提高题( 3 道全国初中数学联赛一试难度的试题) 、综合题( 2 道全国初中数学联赛二试难度的试题) 组成.本书中很多题在解答之后有评注, 评注的作用是对某些问题或解答过程中未尽之处进行阐述分析, 以起到画龙点睛的效果; 对可进一步深入研究的问题予以拓展引申, 旨在引导学生去创新; 对一题多解的问题提出相关的解法, 沟通特技与通法之间的联系. 总之, 评注的目的在于, 一方面揭示问题的背景和来源, 另一方面启迪学生发现解决问题的思路及通过合理猜测提出新问题的方法, 使学生不仅知其然, 更知其所以然, 以期达到授之以渔的目的.同步训练: 含选择题、填空题、解答题, 为方便自学, 在参考答案中给出了每题详细的解答过程.本书注重数学基础知识的巩固提高和数学思想方法的渗透, 突现了科学精神和人文精神的融合, 有利于加强对学生学习兴趣、创新精神、应用意识和分析解决问题能力的培养. 学生通过对本书的学习, 能够发现数学的美丽和魅力, 体会数学的思想和方法, 感受数学的智慧和创造力, 体验经过不懈的探索而获得成功的兴奋和快乐, 进而激发学习数学的兴趣.数学大师陈省身教授曾为2002 年8 月在北京举行的第24 届国际数学家大会题词: “ 数学好玩” . 我们深信本丛书能让你品味到数学的无穷乐趣. 数学家陈景润教授说得好: “ 数学的世界是变化无穷的世界, 其中的乐趣只有那些坚持不懈的人才能体会得到!”

　　本书是初中学生参加数学竞赛的宝典, 是向重点高中冲刺、破解中考Ⅷ　数学压轴题的利器, 是中学数学教师做数学竞赛辅导的益友.在本书的编写过程中, 参考并引用了有关资料中的优秀题目, 为求简明, 书中未一一注明出处, 在此, 谨向原题编者表示感谢. 由于笔者水平有限, 书中难免会有疏漏或错误之处, 诚挚欢迎读者批评与指正.2017 年8 月