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闫桂峰编著的《数学物理方程与特殊函数》包括8章内容。第1章介绍了三类典型方程的推导过程及定解问题的提法。第2章介绍了求解波动问题的特征线法、球面平均值方法和降维法，给出了一维波动方程的达朗贝尔公式和二维、三维波动方程的泊松公式。第3章叙述了求解有界域上数学物理方程最常用、最基本的方法——分离变量法。第4章讨论了傅里叶变换和拉普拉斯变换，它们是求解无界域上数学物理方程定解问题的两种常用的方法。第5、6、7章分别介绍了格林函数法、贝塞尔函数和勒让德多项式。第8章对偏微分方程的差分方法进行了简单介绍。作为预备知识和辅助教学材料，附录A汇总了线性常微分方程的基本理论和方法，附录B介绍了傅里叶级数的基本理论，附录C给出了常用的变换表。

《数学物理方程与特殊函数》是编者（闫桂峰）在多年教学经验的基础上，根据工科本科生数学基础课程教学基本要求编写而成的。本书结构严谨，内容丰富，阐述明了，层次分明，配有大量应用实例。全书共分8章，其内容有典型数学物理方程的导出和定解问题的提法、求解数学物理方程定解问题的几种方法(包括行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法和差分法)，以及两类特殊函数——贝塞尔函数和勒让德多项式的性质及其应用。

《数学物理方程与特殊函数》可以作为高等院校工科本科生”数学物理方程”课程的教材或教学参考书，也可以作为广大工科研究生和相关领域的科研工作者的参考书。

第1章 数学物理方程的导出和定解问题 1

1.1 数学物理方程的导出 1

1.1.1 弦的微小横振动 1

1.1.2 热传导方程 4

1.1.3 静电场的势方程 6

1.2 定解条件及定解问题 7

1.2.1 初始条件 8

1.2.2 边界条件 9

1.3 二阶线性偏微分方程的分类、化简及叠加原理 13

1.3.1 基本概念 13

1.3.2 分类和化简 14

1.3.3 线性方程的叠加原理 18

习题 20

第2章 行波法 22

2.1 一维波动方程的柯西问题 22

2.2 齐次化原理及非齐次方程柯西问题 30

2.2.1 齐次化原理 30

2.2.2 非齐次方程柯西问题 31

2.3 半无限长弦的振动 33

2.4 二维与三维波动方程 39

2.4.1 球对称情形 39

2.4.2 一般情况 40

2.4.3 二维波动方程的降维法 43

2.4.4 解的物理意义 45

习题 45

第3章 分离变量法 48

3.1 有界弦的自由振动 48

3.1.1 分离变量法 48

3.1.2 解的物理意义 52

3.2 有限长杆的热传导问题 65

3.3 有限区域上的拉普拉斯方程边值问题 70

3.3.1 矩形域上拉普拉斯方程边值问题 70

3.3.2 圆域上拉普拉斯方程边值问题 72

3.4 非齐次方程的问题 75

3.4.1 傅里叶级数法 75

3.4.2 冲量定理法 79

3.4.3 泊松方程的特解法 80

3.5 非齐次边界条件问题 82

3.6 施特姆-刘维尔问题 87

习题 89

第4章 积分变换法 94

4.1 傅里叶变换的概念和性质 94

4.2 傅里叶变换的应用 98

4.2.1 一维热传导方程的初值问题 98

4.2.2 一维波动方程的初值问题 100

4.2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题 101

4.3 拉普拉斯变换的概念和性质 103

4.4 拉普拉斯变换的应用 105

习题 110

第5章 格林函数法 111

5.1 拉普拉斯方程边值问题与基本解 111

5.1.1 拉普拉斯方程边值问题 111

5.1.2 拉普拉斯方程的基本解 112

5.2 格林公式和调和函数的性质 113

5.2.1 格林公式 113

5.2.2 调和函数的性质 114

5.3 格林函数法 117

5.4 电像法 121

习题 125

第6章 贝塞尔函数 126

6.1 贝塞尔方程的导出与求解 126

6.1.1 贝塞尔方程的导出 126

6.1.2 贝塞尔方程的求解 128

6.2 贝塞尔函数的递推公式 131

6.3 函数展开成贝塞尔函数的级数 134

6.3.1 贝塞尔函数的零点 134

6.3.2 贝塞尔函数正交性 136

6.3.3 函数在贝塞尔函数系上的展开 136

6.4 贝塞尔函数的应用 137

6.5 贝塞尔函数的其他类型及渐近公式 142

6.5.1第三类贝塞尔函数 142

6.5.2 虚宗量的贝塞尔函数 142

6.5.3 开尔文函数 144

6.5.4 贝塞尔函数的渐近公式 144

习题 146

第7章 勒让德多项式 149

7.1 勒让德方程的引入 149

7.2 勒让德方程的求解和勒让德多项式 151

7.2.1 求解勒让德方程 151

7.2.2 勒让德多项式 152

7.3 勒让德多项式的微分表达式及递推公式 154

7.4 函数展开成勒让德多项式的级数 156

7.4.1 勒让德多项式的正交性 156

7.4.2 勒让德多项式的应用 159

7.5 连带的勒让德多项式 161

习题 163

第8章 偏微分方程的差分方法 165

8.1 波动方程的差分格式 168

8.2 抛物型方程的差分方法 170

8.2.1 常系数扩散方程差分方程 170

8.2.2 第三类边界条件的处理 173

*8.2.3 变系数初值问题 174

*8.2.4 多维问题 174

8.3 椭圆型方程的差分方法 176

8.3.1 直角坐标系下的差分格式 176

8.3.2 极坐标系下的差分格式 177

*8.3.3 变系数问题 178

习题 179

附录A 线性常微分方程 181

附录B 傅里叶级数 194

附录C 变换表 211

部分习题参考答案 214

参考文献 221