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本书拟分为三部分。一是数学的诞生，讲述数学史上一些有趣的故事，并以此介绍数学重要概念的形成；二是游戏中的数学，讲述生活中各种小游戏蕴涵的数学知识；三是有用的数学，讲述数学在现代生活中的一些实际应用。每一部分由16-20个小节组成，每小节2000字左右。在浅显的讲述中渗透数学思想,使读者能够在阅读故事之余得到启发,学到一些数学思想，能够在掩卷之余得到收获，对生活中的一些问题有新的观察角度和新的认识。

目录
前言
1 改变世界的数学 1
1.1 铁锤与音乐 2
1.2 分牛和分马 4
1.3 满地繁花 5
1.4 勾股定理与无理数 7
1.5 割圆术与圆周率 9
1.6 牟合方盖的故事 11
1.7 滔滔黄河不尽流 13
1.8 对数与快速计算 15
1.9 蜘蛛的贡献 18
1.10 虚幻之数 19
1.11 赌徒的科学——概率论 21
1.12 椭圆的故事 24
1.13 苹果掉下了树 26
1.14 二进制与八卦 27
1.15 平行线与奇妙的非欧几何 29
1.16 无限旅馆 31
1.17 理发师的故事 33
2 游戏中的数学 37
2.1 读心术的秘密 38
2.2 河图——美妙的幻方 39
2.3 老虎们要过河 43
2.4 女生们要散步 46
2.5 哥尼斯堡的七座桥 46
2.6 移动拼图 48
2.7 棋盘、麦粒和世界末日 50
2.8 三十六位军官 51
2.9 越来越多的兔子 52
2.10 放大祭坛 55
2.11 阿基里斯追乌龟 58
2.12 谷堆之辩 59
2.13 寻找次品球 60
2.14 怎么选中汽车 63
2.15 满地都是扔掉的针 64
2.16 地图与四色猜想 66
2.17 孙庞猜数 68
2.18 弯弯曲曲的海岸线 71
3 有用的数学 73
3.1 田忌赛马 74
3.2 囚徒困境 76
3.3 法庭上的概率问题 77
3.4 招生中的歧视 78
3.5 银行里的数学 79
3.6 推销保险 80
3.7 随机的股票市场 81
3.8 彩票中的数学 82
3.9 体育比赛对阵表 83
3.10 邮递员问题 84
3.11 zui省钱的电话线 85
3.12 韩信点兵与编码 86
3.13 数论与密码 88
3.14 鉴定古画 90
3.15 CT机与数学 91
3.16 蝴蝶与风暴 94
后序 95

1 改变世界的数学
导语
在许多人的印象里，数学似乎是由书斋里的一群书呆子想出来的。与这种刻板印象相反，数学其实是在大千世界中被发现的，它是为了满足人们对现实世界认识的需要而逐步发展起来的。在数学发展的许多转折点上，还往往伴随着许许多多有趣的故事。
1.1 铁锤与音乐
“铛……铛……铛……”，偶然走过一家打铁店门口，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580～前500)(图1.1)被铁锤打铁的声音吸引了。毕达哥拉斯不仅是古希腊著名的数学家，还是一位音乐家。他觉得从打铁店里传来的铁锤有节奏的打铁声异常地悦耳。这是怎么回事呢？毕达哥拉斯好奇地走进了打铁店。
图1.1 古希腊数学家毕达哥拉斯
在打铁店里，毕达哥拉斯听了好长时间的打铁声，还自己拎起铁锤敲了好多下。zui后，他终于发现，有四个铁锤连续敲打的时候声音特别悦耳。这四个铁锤的重量比恰好是12∶9∶8∶6。他们两两一组来敲打时都发出了非常和谐的声音，分别是12∶6=2∶1的一组，12∶8=9∶6=3∶2的一组，12∶9=8∶6=4∶3的一组。这难道就是规律吗？
回家以后，毕达哥拉斯用单弦琴做实验对这个规律进一步进行了验证。单弦琴弹奏可以发出声音。毕达哥拉斯做了好多琴弦，让这些琴弦的长度保持固定的比例，然后连续弹奏并比较它们的声音。就这样，毕达哥拉斯zui后总结出了著名的琴弦律：
(1) 当两个音的弦长成为简单整数比时，同时或连续弹奏，所发出的声音是和谐悦耳的。
(2) 两音弦长之比为4∶3，3∶2及2∶1时，所发出的声音是和谐悦耳的。根据这样的规律，人们在制作乐器时，只要保持好它们的大小比例就可以了。琴弦的长度就决定了它们的发音。如果琴的一根弦发出的音是1(do)的话，那么根据2∶1的比例，取1/2长度的弦弹奏就会发出高八度的1(do)，根据4∶3的比例，取3/4长度的弦弹奏会发出4(fa)的声音，其他的，8/9长度的弦发出2(re)，64/81长度的弦发出3(mi)，等等。像竖琴这样的乐器，有很多不同长度的琴弦，就可以弹奏出很多不同的声音让演奏者们尽情组合(图1.2)。
图1.2 西方的乐器——竖琴
以上是西方古代制作乐器的方法，那么中国古代是如何制作乐器的呢？在中国春秋战国时期的《管子？地员篇》《吕氏春秋？音律篇》等古书上记载了中国古代制作乐器的“三分损益律”。具体来说是取一段弦，“三分损一”，即均分弦为三段，舍一留二。这样得到的比例不就是3∶2吗？如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，这样得到的琴弦比例就是3∶4(图1.3)。所以中国古代也以相似的方式认识到了琴弦的规律。
图1.3 中国古代的乐器——七弦琴
不过，虽然规律一样，中国古琴的弹奏方法还是和竖琴不同的。在制作竖琴时，琴弦的长度就不一样。而中国古琴的弹奏方法是左手按弦，右手拨弦，是借助于两只手的动作来改变所弹琴弦的长度的。
到了十六世纪，意大利数学家、物理学家、天文学家伽利略（Galileo，1564～1642)发现声音是物体振动产生的，而音调决定于振动的频率。因为琴弦振动的频率跟弦长成反比，所以不同长度的琴弦会弹奏出不同的声音。琴弦律就这样得到了科学的解释。
1.2 分牛和分马
在古代印度流传着这样一个“分牛”的故事。
有一个农夫，死后留下了19头牛。他临死前立下了一个奇怪的遗嘱：“19头牛中的一半分给长子，1/4分给次子，1/5分给小儿子。”看到这份遗嘱，大家都感到迷惑不解。19头活生生的牛怎么能分成相等的两份？或分成4份？6份？正当农夫的儿子们在为怎么分法争论不休时，一个陌生人牵着一头牛正好走过。农夫的儿子们向他求助。这个陌生人把自己的牛也放进了牛群里，然后开始履行遗嘱。他把这些牛的一半，10头给了老大。老二得到20头中的1/4，即5头。小儿子得到20头中的1/5，即4头。陌生人分完了以后说：“10加5加4正好是19。余下的那头刚好还给我。”这真是个绝妙的办法，遗嘱的问题就这样解决了。
在古代世界的其他地区，也流传着类似的一些“分遗产”故事。比如说在古老的丝绸之路上，流传着阿凡提分骏马的故事。11匹骏马，死去的父亲的遗嘱要求三个儿子按照1/2，1/4，1/6的比例进行分配。读者们能像聪明的阿凡提一样找到解决问题的办法吗？解决办法和分牛是类似的。阿凡提把他的小毛驴借给了三个儿子。三个儿子按照1/2，1/4，1/6的比例分别得到骏马的数量为6匹、3匹、2匹，然后把小毛驴又还给了阿凡提。
阿凡提真聪明！在故事的背后，隐含着什么样的数学道理呢？如果我们认真分析这个问题，就会发现：遗嘱提出的分配比数相加并不是等于1的，即1/2+1/4+1/5=19/20，如果严格按照遗嘱执行的话，肯定有1/20无法分配。所以正确的分配比例就应该将19/20作为整体，用1/2除以19/20得到长子合理的分配比例10/19。同理，也可以得到老二和老三合理的分配比例就是5/19和4/19。
在阿凡提分骏马的故事里，1/2，1/4，1/6加在一起刚好是11/12。这就是为什么加了一头小毛驴，分马就可以顺利进行了。
在这些故事背后隐含的就是数学中的“分数”。在人类认识世界的过程中，zui初认识到的当然是1，2，3，…，如果什么都没有，就是0。这些数的概念都是自然而然的产生的，也就是“自然数”。后来当人们熟悉了减法之后，为了便于小数减大数的运算，就出现了“负数”。加上了负数之后，数的范围就扩大到了“整数”。数的概念还可以再进一步地扩大。为了分配人类的各种物品，出现了除法。而不可避免的，做除法时会出现除不尽的情况。这样一来，分数就应运而生了。
古代世界各国都相继认识到了分数的存在，也就出现各式各样的“分遗产”故事。毕竟关于分数的加、减、乘、除不是很自然地就能被人认识到的，所以这样的故事还是很迷惑人的。
1.3 满地繁花
小朋友们学数学，都是从加、减、乘、除开始学的。
今天进行加减乘除，小朋友们都是列竖式进行计算(图1.4)。比如我们计算25×48，就可以列出下面这样的算式。
在数学的发展历史上，大家一开始并不是这样计算的。一个很重要的问题是，zui初并没有这样方便计数的阿拉伯数字。阿拉伯数字是由古代印度人1先发明，后来传到古代阿拉伯，再由阿拉伯人传播到世界各地的。这已经是比较晚的事情了。在中国古代，人们是用算筹来进行四则运算的(图1.5)。
图1.4 竖式计算25×48
图1.5 算筹计算
算筹是什么时候开始使用的，历史上找不到记载。但可以肯定的是到了春秋时期，算筹计算已经很普遍了(图1.6)。在今天能找到的zui早的关于算筹计数规律的记载，是公元4世纪左右中国的数学书《孙子算经》上：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”另一部数学书《夏阳侯算经》则记载：“满六以上，五在上方。六不积算，五不单张。”
算筹计算的时候，加一根算筹表示加一个1。当数字超过5的时候，就将一根算筹横过来表示5。计算的时候，如果用的数字位数太多，为了让计算者便于区分各位数字，就规定相邻数位摆算筹的方式恰好相反。个位上是竖着摆的，位上就横着摆以示区分。这样，个位、百位、万位摆放方法是一样的，十位、千位摆放方法是一样的。
图1.6 算筹计算23+73=96
经常计算的人会携带很多算筹，需要的时候铺在地上进行计算。有的算筹制作非常精美。进行一个位数比较多的大型计算时，满地都是铺开的算筹，那真是“满地繁花似锦簇”。
到了北宋时期，中国出现了另一个方便的计算工具——算盘(图1.7)。
图1.7 算盘
算盘的携带比算筹方便多了，珠算法的计算过程也比算筹法更为快捷，于是在中国算盘逐渐取代了算筹。不过在手工计算时，人们后来开始使用一种格子算法(图1.8)。
图1.8 格子算法128×34=4352
如图1.8所示，我们来计算128×34。被乘数与乘数分别有3个与2个有效数字。可以画一个中心是二行三列的方格，外面的一圈方格是记被乘数、乘数和积的，中心的二行三列都画出一系列的对角线，用来记中间计算的过程。
在方格上方的中间依次写上被乘数128，每个方格写一个数字，右方**一列从上向下写出乘数34，然后就开始相乘。在中间的方格里，每个方格对应到的是它所在行和所在列数字的乘积。比如中心的**一行第三列对应的是3和8，乘积就是24，那么2写在斜线的上方，4写在斜线的下方。因为两个10以内数字相乘zui多2位，因此两个位置足够了。如果乘出来还是个位数，就在斜线上方记0。中心的格子都填满以后，我们就开始做zui后的加法。从右下方到左上方，每0123456789

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